Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
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\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {algebraisch abgeschlossener} {} Körper.
}{Die
\stichwort {Homogenisierung} {}
eines Polynoms
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein
\stichwort {multiplikatives System} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {Multiplizität} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine \stichwort {algebraische Funktion} {} auf einer quasiprojektiven Varietät $U$.
}{Die Projektion weg von einem Punkt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Radikale und maximale Ideale.}{Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.}{Das \stichwort {Lemma von Nakayama} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Neilschen Parabel
\mathl{V( y^2-x^3)}{} gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y,Z,W]}{} die drei Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1, \, X - 2Z^2 +1 ,\, Y-2ZW \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1 ,\, X^2+Y^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c}
}
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass ${\mathfrak m}$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/{\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Gibt es ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(S,T,ST)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J
}
{ \defeq} { { \left\{ f \in R \mid \text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(Y^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(1,1)
}
{ \in} { C
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{,}
die auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von
\mathl{X^3-X^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 3 T^{0} -2 T^{1} + 5 T^{2} \right) } \cdot { \left( 4 T^{0} - 6 T^{1} + 5T^{2} \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{\Z/(7) [ \Z/(3 ) ]}{} über dem Körper
\mathl{\Z/(7)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.
\aufzaehlungvier{Ein $n$-Tupel aus $K$.
}{Ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {\N^n } { K
} {.}
}{Ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K
} {.}
}{Eine
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabb {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ F_m + \cdots + F_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {} {K[X,Y] } { K[X,Y]
} { G } { FG
} {,}
einen injektiven, wohldefinierten
$K[X,Y]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n-m} } { K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n}
} {}
festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { V_+(6X-8Y+3Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der projektiven Ebene.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Z/( 2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die durch die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass $C$
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}{Man folgere, dass das Polynom $X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}{Zeige, dass jeder Punkt aus
\mathl{K^2}{} zu $C$ gehört.
}{Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{ K }}{} zu $D$ gehört.
}{Zeige, dass $D$ nicht
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{} {}