Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 0 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 56 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {algebraisch abgeschlossener} {} Körper.

}{Die \stichwort {Homogenisierung} {} eines Polynoms
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}

}{Ein \stichwort {multiplikatives System} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Die \stichwort {Multiplizität} {} zu einem \definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Eine \stichwort {algebraische Funktion} {} auf einer quasiprojektiven Varietät $U$.

}{Die Projektion weg von einem Punkt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über Radikale und maximale Ideale.}{Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.}{Das \stichwort {Lemma von Nakayama} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Neilschen Parabel
\mathl{V( y^2-x^3)}{} gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y,Z,W]}{} die drei Ideale
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left( Z^2+W^2 -1, \, X - 2Z^2 +1 ,\, Y-2ZW \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ =} {{ \left( Z^2+W^2 -1 ,\, X^2+Y^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak c} }
{ =} {{ \left( Z^2+W^2 -1 ,\, (1-X)Z -YW,\, YZ- (1+X) W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} übereinstimmen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y^2-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(1,1) }
{ \in} {C }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{,} die auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von
\mathl{X^3-X^2}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J }
{ \defeq} { { \left\{ f \in R \mid \text{Es gibt ein } s \in S \text{ mit } sf \in I \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$ ist, dass $I$ umfasst.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten. \aufzaehlungvier{Ein $n$-Tupel aus $K$. }{Ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} {\N^n} {K } {.} }{Ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K } {.} }{Eine \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabb {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{F_m + \cdots + F_d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{} eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \leq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (X,Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {} {K[X,Y]} { K[X,Y] } {G} {FG } {,} einen injektiven, wohldefinierten $K[X,Y]$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n-m} } {K[X,Y]/ {\mathfrak m}^{n} } {} festlegt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {V_+(6X-8Y+3Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { V_+(2X+9Y-5Z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der projektiven Ebene.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {ebene affine Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die durch die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} gegebene \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass $C$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. }{Man folgere, dass das Polynom $X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist. }{Zeige, dass jeder Punkt aus
\mathl{K^2}{} zu $C$ gehört. }{Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} zu $D$ gehört. }{Zeige, dass $D$ nicht \definitionsverweis {glatt}{}{} ist. }

}
{} {}