Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	5	0	5	3	4	3	4	0	4	3	6	5	56

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
2. Die Homogenisierung eines Polynoms ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
3. Ein multiplikatives System ${}S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$.
5. Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät ${}U$.
6. Die Projektion weg von einem Punkt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
2. Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
3. Das Lemma von Nakayama.

Aufgabe * (4 Punkte)

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Neilschen Parabel ${}V(y^{2}-x^{3})$ gibt und bestimme numerisch die reelle ${}x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler ${}\leq 0,1$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass in ${}K[X,Y,Z,W]$ die drei Ideale

${}{\mathfrak {a}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X-2Z^{2}+1,\,Y-2ZW\right)}\,,$

${}{\mathfrak {b}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,X^{2}+Y^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

und

${}{\mathfrak {c}}={\left(Z^{2}+W^{2}-1,\,(1-X)Z-YW,\,YZ-(1+X)W\right)}\,$

übereinstimmen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und den Punkt

${}P=(1,1)\in C\,.$

Finde eine algebraische Funktion, die auf ${}C\setminus \{P\}$ definiert ist, aber nicht auf ganz ${}C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von ${}X^{3}-X^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}I\subseteq R$ ein Ideal. Zeige, dass

${}J:={\left\{f\in R\mid {\text{Es gibt ein }}s\in S{\text{ mit }}sf\in I\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist, dass ${}I$ umfasst.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.

1. Ein ${}n$-Tupel aus ${}K$.
2. Ein Monoidhomomorphismus ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow K$.
3. Ein ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K$.
4. Eine Spektrumsabbildung ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K\right)}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$ die homogene Zerlegung eines Polynoms ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}m\leq d$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$. Zeige, dass für jedes ${}n\geq m$ die Multiplikationsabbildung

$K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,G\longmapsto FG,$

einen injektiven, wohldefinierten ${}K[X,Y]$- Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$

festlegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

${}L=V_{+}(6X-8Y+3Z)\,$

und

${}M=V_{+}(2X+9Y-5Z)\,$

in der projektiven Ebene.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die ebene affine Kurve

${}C=V(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4})\,$

über ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

${}D=V_{+}(X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+XZ^{5}+X^{4}Z^{2}+YZ^{5}+Y^{4}Z^{2})\,$

1. Zeige, dass ${}C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom ${}X^{2}Y^{4}+X^{4}Y^{2}+X+X^{4}+Y+Y^{4}$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus ${}K^{2}$ zu ${}C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder ${}K$-Punkt aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu ${}D$ gehört.
5. Zeige, dass ${}D$ nicht glatt ist.