Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 5 0 5 3 4 3 4 0 4 0 3 6 51



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
  2. Die Homogenisierung eines Polynoms .
  3. Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring .
  4. Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid .
  5. Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät .
  6. Die Projektion weg von einem Punkt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
  2. Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
  3. Das Lemma von Nakayama.


Aufgabe * (4 Punkte)

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die drei Ideale

und

übereinstimmen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

und den Punkt

Finde eine algebraische Funktion, die auf definiert ist, aber nicht auf ganz . Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein Ideal. Zeige, dass

ein Ideal ist, dass umfasst.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und . Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.

  1. Ein -Tupel aus .
  2. Ein Monoidhomomorphismus .
  3. Ein -Algebrahomomorphismus .
  4. Eine Spektrumsabbildung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten -Modulhomomorphismus

festlegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät .