Kurs:Algebraische Kurven/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 5 0 5 3 4 3 4 0 4 3 6 5 56



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
  2. Die Homogenisierung eines Polynoms .
  3. Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring .
  4. Die Multiplizität zu einem numerischen Monoid .
  5. Eine algebraische Funktion auf einer quasiprojektiven Varietät .
  6. Die Projektion weg von einem Punkt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Radikale und maximale Ideale.
  2. Der Satz über Ringhomomorphismen und Morphismen.
  3. Das Lemma von Nakayama.


Aufgabe * (4 Punkte)

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Neilschen Parabel gibt und bestimme numerisch die reelle -Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die drei Ideale

und

übereinstimmen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

und den Punkt

Finde eine algebraische Funktion, die auf definiert ist, aber nicht auf ganz . Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein Ideal. Zeige, dass

ein Ideal in ist, dass umfasst.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und . Man Erläutere die Korrespondenz zwischen den folgenden Objekten.

  1. Ein -Tupel aus .
  2. Ein Monoidhomomorphismus .
  3. Ein -Algebrahomomorphismus .
  4. Eine Spektrumsabbildung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten -Modulhomomorphismus

festlegt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden

und

in der projektiven Ebene.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät .


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die ebene affine Kurve

über und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

  1. Zeige, dass glatt ist.
  2. Man folgere, dass das Polynom irreduzibel ist.
  3. Zeige, dass jeder Punkt aus zu gehört.
  4. Zeige, dass jeder -Punkt aus zu gehört.
  5. Zeige, dass nicht glatt ist.