Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 7 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 10 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 0 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 0 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 56 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}

}{Eine \stichwort {rationale Parametrisierung} {} einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {Morphismus} {} \maabb {{\psi}} {Y} {X } {} zwischen quasiaffinen Varietäten.

}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.

}{Der \stichwort {Singularitätsgrad} {} zu einem \definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Das \stichwort {Nullstellengebilde} {} zu einem homogenen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_0 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.}{Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V { \left( Y^4-Y^2+X^2 \right) } }
{ \subset} { \R^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} { [0,2 \pi [ } {C } { \theta} { \left( \sin \theta \cos \theta , \, \sin \theta \right) } {,} eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{(10 (1+2+2+1+1+2+1)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K^n} {K^n } { \left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right) } { \left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right) } {,} die einem Nullstellentupel
\mathl{\left( \lambda_1 , \, \lambda_2 , \, \ldots , \, \lambda_n \right)}{} das Koeffiziententupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} \zusatzklammer {ohne die $1$} {} {} des \definitionsverweis {normierten Polynoms}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X- \lambda_1) (X- \lambda_2) \cdots (X- \lambda_n) }
{ =} { P }
{ =} { c_0 +c_1X + \cdots + c_{n-1}X^{n-1} +X^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zuordnet. \aufzaehlungsieben{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Beschreibe $\varphi$ explizit für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Begründe, dass die $\varphi$ \definitionsverweis {polynomiale Abbildungen}{}{} sind. }{Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ endlich sind. }{Wann ist die Faser zu einem Tupel
\mathl{\left( c_0 , \, c_1 , \, \ldots , \, c_{n-1} \right)}{} leer? }{Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erreicht wird. }{Es sei $K$ nun \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{.} Zeige, dass
\mathl{m \in M}{} genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $m$ aufgefasst in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} eine Einheit ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten \maabbeledisp {D} {K[X]} {K[X] } {F} {F' } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( XY^3+YZ^3+ZX^3 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V_+ { \left( X^2+Y^2+Z^2 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} der durch die \definitionsverweis {Projektion weg vom Punkt}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{K} \setminus \{(1,0,0)\}} { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(x,y,z)} { (y,z) } {,} definierte \definitionsverweis {Morphismus}{}{.} Bestimme das Urbild des Punktes
\mathl{(3,5) \in {\mathbb P}^{1}_{K}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}

}
{} {}