Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	7	4	10	5	3	0	5	2	0	5	4	3	2	56

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der affine Raum.
2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$.
3. Ein Morphismus ${}{\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen quasiaffinen Varietäten.
4. Ein lokaler Ring.
5. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$.
6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
2. Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
3. Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve

${}C=V{\left(Y^{4}-Y^{2}+X^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{2}\,.$

Zeige, dass durch

$[0,2\pi [\longrightarrow C,\,\theta \longmapsto \left(\sin \theta \cos \theta ,\,\sin \theta \right),$

eine Parametrisierung von ${}C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.

Aufgabe * (10 (1+2+2+1+1+2+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$) des normierten Polynoms

${}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

zuordnet.

1. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=2$.
2. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für ${}n=3$.
3. Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für ${}K=\mathbb {R}$ erreicht wird.
7. Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal von ${}R$. Zeige, dass

$R^{\times }\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}M\subseteq \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ ein Untermonoid. Zeige, dass ${}m\in M$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}m$ aufgefasst in ${}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ eine Einheit ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten

$D\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,F\longmapsto F'.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(XY^{3}+YZ^{3}+ZX^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}C=V_{+}{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z),$

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes ${}(3,5)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$