Kurs:Algebraische Kurven/13/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 7 4 10 5 3 0 5 2 0 5 4 3 2 56



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der affine Raum.
  2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve .
  3. Ein Morphismus zwischen quasiaffinen Varietäten.
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid .
  6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die polynomiale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
  2. Der Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
  3. Der Satz über die Schnittmultiplizität und die Multiplizität.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die reelle algebraische Kurve

Zeige, dass durch

eine Parametrisierung von gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.


Aufgabe * (10 (1+2+2+1+1+2+1) Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten zu jedem die Abbildung

die einem Nullstellentupel das Koeffiziententupel (ohne die ) des normierten Polynoms

zuordnet.

  1. Beschreibe explizit für .
  2. Beschreibe explizit für .
  3. Begründe, dass die polynomiale Abbildungen sind.
  4. Zeige, dass die Fasern von endlich sind.
  5. Wann ist die Faser zu einem Tupel leer?
  6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für erreicht wird.
  7. Sei nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein lokaler Ring und ein Ideal von . Zeige, dass

surjektiv ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei und sei ein Untermonoid. Zeige, dass genau dann eine Einheit ist, wenn aufgefasst in eine Einheit ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt

definierte Morphismus. Bestimme das Urbild des Punktes .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung