Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Nullstellenmenge} {}
zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Der \stichwort {Koordinatenring} {} zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {glatter} {}
Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {diskreter Bewertungsring} {.}
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den globalen Schnittring zu
\mathl{D(f)}{.}}{Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.}{Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man erläutere das Begriffspaar \anfuehrung{lokal}{} und \anfuehrung{global}{} anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(11)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {}
mit der Multiplikation verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ \subseteq }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {algebraischen Kurven}{}{}
erhalten kann.
}{Zeige, dass man $M$ als Durchschnitt von zwei
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
algebraischen Kurven erhalten kann.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \R[X] / { \left( X^2+3X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \R[Y] / { \left( Y^2+4Y+7 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Stifte einen expliziten
$\R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { K } { L
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und es seien
\maabb {\varphi_i} { R } { S_i
} {}
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} { R } { S_1 \times \cdots \times S_n
} {}
der zugehörige Ringhomomorphismus in den
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { S_1 \times \cdots \times S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form
\mathl{(1,0 , \ldots , 0) ,(0,1,0 , \ldots , 0) , \ldots , (0 , \ldots , 0,1)}{} zum Bild von $\varphi$ gehören. Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
des
\definitionsverweis {kommutativen Monoids}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \N \times \Z/( n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $n$
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{ {\mathbb C} }}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^3Z+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+ { \left( X+2Y+Z \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichung für die Urbildgerade zur
\definitionsverweis {Projektion weg von einem Punkt}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{2}_{ K } \setminus \{ (1,0,0) \} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {(x,y,z)} { (y,z)
} {.}
}
{} {}