Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 3 4 0 5 0 4 7 0 0 0 7 4 1 0 41



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring .
  2. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  4. Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
  5. Ein diskreter Bewertungsring.
  6. Der projektive Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den globalen Schnittring zu .
  2. Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
  3. Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ) mit der Multiplikation verträglich ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass das -Spektrum des kommutativen Monoids aus irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme zu einem Punkt die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt


Aufgabe (0 Punkte)