Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {rationale Funktionenkörper} {} zu einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring $R$.
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Ein \stichwort {transversaler} {} Schnitt von zwei ebenen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} in einem Punkt $P$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.}{Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Zeige, dass die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V { \left( Y^2-X^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
jede Gerade durch den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (1,1)
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G \in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt $V(F) \cap V(G)$ nur endlich viele Punkte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { t } { \left( { \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } } , \, { \frac{ t-1 }{ t^2 } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch
\mathl{(0,1)}{} mit dem Koppelungsabstand
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über einen endlich erzeugten Modul $M$ über einem noetherschen Ring $R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_1, \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen
\mathdisp {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \text{ und } V({\mathfrak a}) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz für numerische Monoide für große $n$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Beschreibe die zum
\definitionsverweis {Restklassenhomomorphismus}{}{}
\zusatzklammer {als Monoidhomomorphismus} {} {}
\maabbdisp {} {\Z} { \Z/( n )
} {}
gehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zum Körper ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V { \left( X^3+Y^2-XY+X \right) }} { }
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ F(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X-Y^2 \right) } \text{ und } D=V { \left( Y^2-X^5 \right) }} { . }
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven
\zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\bar{C}$ und $\bar{D}$} {} {} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.
}
{} {}