Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 6 0 0 0 3 0 5 0 0 4 0 7 3 2 36



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper .
  2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge .
  3. Ein noetherscher Ring.
  4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  5. Eine monomiale Kurve.
  6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven und in einem Punkt .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
  2. Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
  3. Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern

wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

vorliegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es seien und Punkte auf . Zeige, dass es einen Automorphismus mit

gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von mit den beiden folgenden Zahlen übereinstimmt.

  1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
  2. Die maximale Länge einer Kette von -Algebren
  3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von -Untervektorräumen


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

im Punkt sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

mit der Geraden .