Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 7 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {ebene affin-algebraische Kurve} {} über einem Körper $K$.
}{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Die \stichwort {eingesetze} {} Potenzreihe $F(G)$.
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{ K}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten} {.}}{Der \stichwort {Hilbertsche Basissatz} {.}}{Der \stichwort {Satz von Bezout} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Finde auf der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)
}
{ \subset} { {\mathbb C}^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine irreduzible
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
mit
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \,(V)}{.} Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } { t } { \left( t^2+1 , \, t^3-t \right) } {} definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Charakterisierung von \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} mit Idealketten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(f)
}
{ \subseteq }{ D(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es gibt einen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} {R_g } { R_f
} {.}
}
Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }_S
}
{ =} { R_S/ {\mathfrak a} R_S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei links die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
am Bild des multiplikativen Systems in $R/ {\mathfrak a}$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten
\zusatzklammer {einschließlich ihrer Multiplizitäten} {} {}
im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y^6-2XY^5+X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V(X^4-X^2+3XY-2Y^3)} { }
\zusatzklammer {über einem Körper der Charakteristik $0$} {} {}
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mathl{Y=F(X)}{} im Nullpunkt bis zum dritten Grad.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ C_1 \cup C_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei affinen, in $C$ offenen
\definitionsverweis {ebenen Kurven}{}{}
\mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+3+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V { \left( Y^2-X^b \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ V { \left( Y^2-X^c \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ b
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$b,c$ ungerade.
\aufzaehlungdreiabc{Berechne die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
der beiden Kurven im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}
}{Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{.}
}{Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
}
}
{} {}