Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 4 7 4 8 4 4 4 4 4 6 9 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper .
  2. Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge .
  3. Ein noetherscher -Modul .
  4. Ein lokaler Ring.
  5. Die eingesetze Potenzreihe .
  6. Der projektive Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
  2. Der Hilbertsche Basissatz.
  3. Der Satz von Bezout.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte von und in .


Aufgabe * (7 Punkte)

Sei eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Zeige, dass ein Primideal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine integre endlich erzeugte -Algebra. Es seien . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt einen -Algebrahomomorphismus .

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für nicht gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Ein Geldfälscher stellt und Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

(über einem Körper der Charakteristik ) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zum dritten Grad.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass es eine Überdeckung mit zwei affinen, in offenen ebenen Kurven und gibt.


Aufgabe * (9 (4+3+2) Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Wir betrachten die beiden Kurven und mit , ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt .

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in .

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.