Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	7	4	6	4	4	4	4	4	4	5	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$.
2. Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge  ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. 
3. Ein noetherscher ${}R$- Modul ${}M$.
4. Ein lokaler Ring.
5. Die eingesetze Potenzreihe ${}F(G)$.
6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
2. Der Hilbertsche Basissatz.
3. Der Satz von Bezout.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$. Zeige, dass ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2}+1,\,t^{3}-t\right)$

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine integre endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es seien  ${}f,g\in R$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1.  ${}D(f)\subseteq D(g)$. 
2. Es gibt einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\rightarrow R_{f}$.

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für  ${}K=\mathbb {R}$  nicht gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}{\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}=R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}\,$

gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in ${}R/{\mathfrak {a}}$ bezeichnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt ${}(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

${}C=V{\left(Y^{6}-2XY^{5}+X^{2}Y^{3}+3X^{3}Y^{2}+5X^{4}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

${}V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{4}-X^{2}+3XY-2Y^{3})$

(über einem Körper der Charakteristik ${}0$) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung ${}Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zum dritten Grad.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass es eine Überdeckung  ${}C=C_{1}\cup C_{2}$  mit zwei affinen, in ${}C$ offenen ebenen Kurven ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ gibt.

Aufgabe * (9 (4+3+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Wir betrachten die beiden Kurven  ${}C=V{\left(Y^{2}-X^{b}\right)}$  und  ${}D=V{\left(Y^{2}-X^{c}\right)}$  mit  ${}c>b\geq 3$,  ${}b,c$ ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt ${}(0,0)$.

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in ${}(1,1)$.

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.