Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	3	7	4	6	4	4	4	4	4	4	5	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper $K$.
2. Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge  $T\subseteq {𝔸}_K^n$. 
3. Ein noetherscher $R$-Modul $M$.
4. Ein lokaler Ring.
5. Die eingesetze Potenzreihe $F(G)$.
6. Der projektive Raum ${\mathbb{P}}_K^n$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
2. Der Hilbertsche Basissatz.
3. Der Satz von Bézout.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

$V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)\subset {ℂ}^2$

einen Punkt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei  $V\subseteq {𝔸}_K^n$  eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\mathrm{Id}(V)$. Zeige, dass $\mathrm{Id}(V)$ ein Primideal ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch

${𝔸}_K^1⟶{𝔸}_K^2,t⟼(t^2+1,t^3-t)$

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $R$ eine integre endlich erzeugte $K$-Algebra. Es seien  $f,g\in R$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1.  $D(f)\subseteq D(g)$. 
2. Es gibt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R_g\to R_f$.

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für  $K=ℝ$  nicht gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Integrität von Monoidringen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $𝔞\subseteq R$  ein Ideal und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${(R/𝔞)}_S\cong R_S/𝔞R_S$

gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in $R/𝔞$ bezeichnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

$C=V(Y^6-2X{Y}^5+X^2{Y}^3+3X^3{Y}^2+5X^{4}Y)\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V(-2X^3+3X^{2}Y-Y+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}})\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^4-X^2+3XY-2Y^3)$

(über einem Körper der Charakteristik $0$) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung $Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zum dritten Grad.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  $C\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung  $C=C_1\cup C_2$  mit zwei affinen, in $C$ offenen ebenen Kurven $C_1$ und $C_2$ gibt.

Aufgabe * (9 (4+3+2) Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Wir betrachten die beiden Kurven  $C=V(Y^2-X^b)$  und  $D=V(Y^2-X^c)$  mit  $c>b\ge 3$,  $b,c$ ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt $(0,0)$.

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in $(1,1)$.

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.