Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	7	4	8	4	4	4	4	4	5	9	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$.
2. Das Verschwindungsideal zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
3. Ein noetherscher ${}R$- Modul ${}M$.
4. Ein lokaler Ring.
5. Die eingesetze Potenzreihe ${}F(G)$.
6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.
2. Der Hilbertsche Basissatz.
3. Der Satz von Bezout.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte von ${}V(X^{2}+Y^{2}-1)$ und ${}V(Y-3X^{2}+2)$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$. Zeige, dass ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die durch

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2}+1,\,t^{3}-t\right)$

definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine integre endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es seien ${}f,g\in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}D(f)\subseteq D(g)$
2. Es gibt einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\to R_{f}$.

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ${}K=\mathbb {R}$ nicht gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Ein Geldfälscher stellt ${}6-,9-,14-$ und ${}25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (einschließlich ihrer Multiplizitäten) im Nullpunkt ${}(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve

${}C=V{\left(Y^{6}-2XY^{5}+X^{2}Y^{3}+3X^{3}Y^{2}+5X^{4}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{4}-X^{2}+3Y^{2}-2XY^{3})$

(über einem Körper der Charakteristik ${}0$) eine nichtkonstante Potenzreihenlösung ${}Y=F(X)$ im Nullpunkt bis zum dritten Grad.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zeige, dass es eine Überdeckung ${}C=C_{1}\cup C_{2}$ mit zwei affinen, in ${}C$ offenen ebenen Kurven ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ gibt.

Aufgabe * (9 (4+3+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Wir betrachten die beiden Kurven ${}C=V{\left(Y^{2}-X^{b}\right)}$ und ${}D=V{\left(Y^{2}-X^{c}\right)}$ mit ${}c>b\geq 3$, ${}b,c$ ungerade.

a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt ${}(0,0)$.

b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in ${}(1,1)$.

c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.