Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 12 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Polynomring} {} in einer Variablen $X$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {Radikal} {.}
}{Der
\stichwort {Singularitätsgrad} {}
zu einem
\definitionsverweis {numerischen Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {normaler} {} Integritätsbereich.
}{Eine \stichwort {quasiprojektive} {} Varietät. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Beziehung des $K$-Spektrums von einem Restklassenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} zum Nullstellengebilde $V( {\mathfrak a} )$.}{Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2+1 }{ t } } , \, { \frac{ t+1 }{ t } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es seien $s_1 , \ldots , s_k \in R$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $A$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{A/ {\mathfrak m}}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
mit einem Element
\mathl{n \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n^2
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {R/(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {idempotenten Element}{}{}
$e$ aus $S$ ein idempotentes Element aus $R$ gibt, dessen Restklasse gleich $e$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$R=K[X,Y]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in zwei Variablen, $S \subseteq R$ ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
und $F \in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (R/(F))_S
}
{ \cong} { (R_S)/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Wir betrachten zu
\mathl{n \in \Z}{} den
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi_n} {\Z} {\Z
} {b} {nb
} {.}
\aufzaehlungdrei{Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper $K$.
}{Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
die Spektrumsabbildung
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}{Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in jedem Punkt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y^4+X^3+3XY^2+2X^2Y \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Es sei
\mathl{e \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \defeq }{ \{0\} \cup \N_{ \geq e}
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme
\mathl{nM_+}{} für
\mathl{n \in \N_+}{.}
}{Bestimme
\mathl{{ \# \left( M \setminus nM_+ \right) }}{.}
}{Es sei $K$ ein Körper und setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[M]_{ {\mathfrak m} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (M_+)
}
{ \subseteq }{ K[M]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme
\mathl{\dim_{ K } { \left( R/ {\mathfrak m}^n \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K[ \![T]\! ]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12}
{
Beweise den \stichwort {Satz von Bezout} {.}
}
{} {}