Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 3 6 5 5 4 4 4 3 4 5 12 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Polynomring in einer Variablen über einem kommutativen Ring .
  2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge .
  3. Ein Radikal.
  4. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid .
  5. Ein normaler Integritätsbereich.
  6. Eine quasiprojektive Varietät.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz über die Beziehung des -Spektrums von einem Restklassenring zum Nullstellengebilde .
  3. Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine endlich erzeugte -Algebra und es sei ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ein endlicher Körper ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring mit einem Element mit in und sei

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element aus ein idempotentes Element aus gibt, dessen Restklasse gleich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper, der Polynomring in zwei Variablen, ein multiplikatives System und ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige -Algebraisomorphie

gibt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten zu den Monoidhomomorphismus

  1. Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper .
  2. Zeige, dass bei und algebraisch abgeschlossen die Spektrumsabbildung surjektiv ist.
  3. Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei und in jedem Punkt?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Sei und sei .

  1. Bestimme für .
  2. Bestimme .
  3. Es sei ein Körper und setze mit . Bestimme .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring .


Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz von Bezout.