Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {affin-algebraische} {} Menge.
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} Ring $R$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {glatter} {}
Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {homogenes} {}
Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.}{Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.}{Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man erläutere das Begriffspaar \anfuehrung{glatt}{} und \anfuehrung{singulär}{} anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl der Punkte auf einer ebenen Kurve über einem algebraischen abgeschlossenen Körper.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Zeige, dass das Bild eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\definitionsverweis {Erzeugern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (F_0, F_1 , \ldots , F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{ X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\mathl{G_i}{} die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[X] / {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( s , \, s^3 \right) ,\, \left( t , \, t^3 \right) ,\, \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer Gerade liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, die wir als
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_i} { {\mathbb C}^n } { {\mathbb C}
} {}
auffassen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiteres Polynom und es seien
\maabbdisp {g_1 , \ldots , g_k} { {\mathbb C}^n } { {\mathbb C}
} {}
Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { g_1f_1 + \cdots + g_kf_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eine Gleichung von Funktionen} {} {.}
Zeige, dass $f$ zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{{ \left( f_1 , \ldots , f_k \right) }}{} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien
\mathkor {} {P=(a,b)} {und} {Q=(c,d)} {}
Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { V } { V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ =} { Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.
\aufzaehlungdrei{Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { M_0
}
{ \subset} { M_1
}
{ \subset} { M_2
}
{ \subset \ldots \subset} { M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
}{Die maximale Länge einer Kette von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { R_0
}
{ \subset} { R_1
}
{ \subset} { R_2
}
{ \subset \ldots \subset} { R_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Die maximale Länge einer Kette
\zusatzklammer {einer
\definitionsverweis {Fahne}{}{}} {} {}
von
$K$-\definitionsverweis {Untervektor\-räumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset} { V_2
}
{ \subset \ldots \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+4)}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { xy^3+y+x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve in ${\mathbb A}^{2}_{ K }$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} ( K )
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Punkt
\mathl{(4,2)}{} ein singulärer Punkt der Kurve ist.
} {Zeige, dass die Kurve bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} ( K )
}
{ \neq }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme die Schnittpunkte und die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
der beiden Kurven
\mathl{V(Y^2-X^3)}{} und
\mathl{V(Y^2-X^5)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }}{} und ihrer projektiver Abschlüsse im
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(0,1,0)}{} sowie die
\zusatzklammer {projektiven} {} {}
\definitionsverweis {Tangente}{}{}(n) in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+(X+Y+Z)}{.}
}
{} {}