Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	1	6	3	3	5	3	3	5	4	5	6	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine affin-algebraische Menge.
Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve $V (F) \subseteq 𝔸_{K}^{2}$ .
Ein zusammenhängender Ring $R$ .
Ein ganzes Element $x \in S$ bei einer Ringerweiterung $R \subseteq S$ .
Ein glatter Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve $C = V (F) \subseteq 𝔸_{K}^{2}$ .
Ein homogenes Ideal $𝔞 \subseteq K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.

Aufgabe (4 Punkte)

Man erläutere das Begriffspaar „glatt“ und „singulär“ anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

y = \frac{1}{7}

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl der Punkte auf einer ebenen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X]$ der Polynomring über $R$ . Es sei $𝔞 \subseteq R [X]$ ein Ideal mit Erzeugern

𝔞 = (F_{0}, F_{1}, \dots, F_{n}),

wobei $F_{0} = X - r$ mit $r \in R$ sei. Für $i \geq 1$ seien $G_{i}$ die Elemente aus $R$ , die entstehen, wenn man in $F_{i}$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

R [X] / 𝔞 ≅ R / (G_{1}, \dots, G_{n})

vorliegt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Finde eine ganzzahlige Lösung $(x, y) \in ℤ \times ℤ$ für die Gleichung
$x^{2} - y^{3} + 2 = 0 .$
Zeige, dass
$(\frac{383}{1000}, \frac{129}{100})$

eine Lösung für die Gleichung

$x^{2} - y^{3} + 2 = 0$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und seien $s, t \in K$ . Zeige, dass die drei Punkte $(s, s^{3}), (t, t^{3}), (- (s + t), - (s + t)^{3}) \in 𝔸_{K}^{2}$ auf einer Gerade liegen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ in irreduzible Komponenten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien Polynome $f_{1}, \dots, f_{k} \in ℂ [X_{1}, \dots, X_{n}]$ gegeben, die wir als Funktionen

f_{i} : ℂ^{n} ⟶ ℂ

auffassen. Es sei $f \in ℂ [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein weiteres Polynom und es seien

g_{1}, \dots, g_{k} : ℂ^{n} ⟶ ℂ

Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte

f = g_{1} f_{1} + \dots + g_{k} f_{k}

(eine Gleichung von Funktionen). Zeige, dass $f$ zum Radikal von $(f_{1}, \dots, f_{k})$ gehört.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $V = V (x^{2} + y^{2} - 1) \subseteq 𝔸_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien $P = (a, b)$ und $Q = (c, d)$ Punkte auf $V$ . Zeige, dass es einen Automorphismus $φ : V \to V$ mit

φ (P) = Q

gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $M \subseteq ℕ$ ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
$M = M_{0} \subset M_{1} \subset M_{2} \subset \dots \subset M_{n} = ℕ$
Die maximale Länge einer Kette von $K$ -Algebren
$K [M] = R_{0} \subset R_{1} \subset R_{2} \subset \dots \subset R_{n} = K [T] .$
Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von $K$ -Untervektorräumen
$K [M] = V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \dots \subset V_{n} = K [T] .$

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

f = x y^{3} + y + x^{3} = 0

gegebene Kurve in $𝔸_{K}^{2}$ über einem Körper $K$ .

Zeige, dass bei $char (K) = 7$ der Punkt $(4, 2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
Zeige, dass die Kurve bei $char (K) \neq 7$ glatt ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittmultiplizitäten der beiden Kurven $V (Y^{2} - X^{3})$ und $V (Y^{2} - X^{5})$ in $𝔸_{ℂ}^{2}$ und ihrer projektiven Abschlüsse im $ℙ_{ℂ}^{2}$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

V_{+} (X^{4} + Y Z^{3} + Z^{4}) \subset ℙ_{ℂ}^{2}

im Punkt $(0, 1, 0)$ sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

V_{+} (X^{3} + Y^{3} + Z^{3}) \subseteq ℙ_{K}^{2}

mit der Geraden $V_{+} (X + Y + Z)$ .