Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	5	6	6	6	6	4	4	5	2	4	3	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine affin-algebraische Menge.
2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$.
3. Ein zusammenhängender Ring ${}R$.
4. Ein ganzes Element ${}x\in S$ bei einer Ringerweiterung ${}R\subseteq S$.
5. Ein glatter Punkt ${}P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
6. Ein homogenes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
2. Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
3. Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Neilsche Parabel

${}C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

jede Gerade durch den Punkt ${}P=(1,1)\in C$ in mindestens einem weiteren Punkt trifft.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt ${}V(F)\cap V(G)$ nur endlich viele Punkte besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+t+1}{t^{2}}},\,{\frac {t-1}{t^{2}}}\right),$

eine algebraische Gleichung der Bildkurve.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten das mechanische System, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch ${}(0,1)$ mit dem Koppelungsabstand ${}d=2$ definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}{\text{ und }}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz für numerische Monoide für große ${}n$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Beschreibe die zum Restklassenhomomorphismus (als Monoidhomomorphismus)

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

gehörige Spektrumsabbildung zum Körper ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V{\left(X^{3}+Y^{2}-XY+X\right)}$

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung ${}X=F(Y)$ im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$ und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven

$C=V{\left(X-Y^{2}\right)}{\text{ und }}D=V{\left(Y^{2}-X^{5}\right)}.$

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen ${}{\bar {C}}$ und ${}{\bar {D}}$) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.