Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	1	6	3	3	5	3	3	5	4	5	6	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine affin-algebraische Menge.
2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve  ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$. 
3. Ein zusammenhängender Ring ${}R$.
4. Ein ganzes Element ${}x\in S$ bei einer Ringerweiterung  ${}R\subseteq S$. 
5. Ein glatter Punkt ${}P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve  ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$. 
6. Ein homogenes Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
2. Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
3. Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.

Aufgabe (4 Punkte)

Man erläutere das Begriffspaar „glatt“ und „singulär“ anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl der Punkte auf einer ebenen Kurve über einem algebraischen abgeschlossenen Körper.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$  ein Ideal mit Erzeugern

${}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$

wobei  ${}F_{0}=X-r$  mit  ${}r\in R$  sei. Für  ${}i\geq 1$  seien ${}G_{i}$ die Elemente aus ${}R$, die entstehen, wenn man in ${}F_{i}$ die Variable ${}X$ durch ${}r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

${}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

vorliegt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung  ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$  für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}s,t\in K$.  Zeige, dass die drei Punkte  ${}\left(s,\,s^{3}\right),\,\left(t,\,t^{3}\right),\,\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  auf einer Gerade liegen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  in irreduzible Komponenten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien Polynome  ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  gegeben, die wir als Funktionen

$f_{i}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auffassen. Es sei  ${}f\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein weiteres Polynom und es seien

$g_{1},\ldots ,g_{k}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte

${}f=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{k}f_{k}\,$

(eine Gleichung von Funktionen). Zeige, dass ${}f$ zum Radikal von ${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}$ gehört.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es seien ${}P=(a,b)$ und ${}Q=(c,d)$ Punkte auf ${}V$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit

${}\varphi (P)=Q\,$

gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von ${}M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   ${}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,$

2. Die maximale Länge einer Kette von ${}K$- Algebren

   ${}K[M]=R_{0}\subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset R_{n}=K[T]\,.$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von ${}K$- Untervektorräumen

   ${}K[M]=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=K[T]\,.$

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$

gegebene Kurve in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass bei  ${}\operatorname {char} (K)=7$  der Punkt ${}(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass die Kurve bei  ${}\operatorname {char} (K)\neq 7$  glatt ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittmultiplizitäten der beiden Kurven ${}V(Y^{2}-X^{3})$ und ${}V(Y^{2}-X^{5})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und ihrer projektiver Abschlüsse im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

im Punkt ${}(0,1,0)$ sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}(X+Y+Z)$.