Kurs:Algebraische Kurven/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 10 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 63 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {affin-lineare Variablentransformation} {.}
}{Eine \stichwort {rationale} {} ebene Kurve.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Die \stichwort {numerische Einbettungsdimension} {} eines numerischen Monoids $M$.
}{Eine \stichwort {formale Potenzreihe} {} über einem kommutativen Ring $R$ in der Variablenmenge
\mathl{T_1 , \ldots , T_n}{.}
}{Das
\stichwort {Nullstellengebilde} {}
zu einem homogenen Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Parametrisierung von Quadriken} {.}}{Der Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.}{Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die durch \maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t+t^2,t^3) = (x,y) } {,} definierte Parametrisierung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{,}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass dann auch jeder
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathdisp {X^3+XY^2 \in {\mathbb C}[X,Y]} { }
und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im Ring $R=K[\Q]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre, endlich erzeugte $K$-Algebra mit Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{.} Es sei $q \in Q(R)$. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \mid q \in {\mathcal O}_P \right\} }} { }
offen in $K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$ ist
\zusatzklammer {dabei bezeichnet ${\mathcal O}_P$ den lokalen Ring im Punkt $P$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \defeq} {V { \left( X^4+Y^2 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\R$.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Punkte von $V$ und den
\definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{}
von $V$.
} {Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
von
\mathl{X^4+Y^2}{} übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme die Schnittpunkte und die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
der beiden Kurven
\mathl{V(Y^2-X^3)}{} und
\mathl{V(Y^2-X^5)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{} und ihrer projektiver Abschlüsse im
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}}{}
}
{} {}