Kurs:Algebraische Kurven/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 4 4 4 2 10 4 3 4 4 8 2 6 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine affin-lineare Variablentransformation.
  2. Eine rationale ebene Kurve.
  3. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  4. Die numerische Einbettungsdimension eines numerischen Monoids .
  5. Eine formale Potenzreihe über einem kommutativen Ring in der Variablenmenge .
  6. Das Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Parametrisierung von Quadriken.
  2. Der Satz über den globalen Schnittring eines -Spektrums.
  3. Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät .


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die durch

definierte Parametrisierung. Bestimme eine (nichttriviale) algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring noethersch ist.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring , wobei ein Körper ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine integre, endlich erzeugte -Algebra mit Quotientenkörper . Sei . Zeige, dass die Menge

offen in ist (dabei bezeichnet den lokalen Ring im Punkt ).


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über .

  1. Bestimme die Punkte von und den projektiven Abschluss von .
  2. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte und die Schnittmultiplizitäten der beiden Kurven und in und ihrer projektiver Abschlüsse im