Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.
}
{Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
\aufzaehlungzwei {$K$ ist
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
} {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}
}
{} {}