Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1/latex

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\inputaufgabe
{2}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.

}
{Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Führe in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind: \aufzaehlungzwei {$K$ ist \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} } {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}