Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1

Aufgabe (2 Punkte)

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe (2 Punkte)

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.

Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.

$X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

1. ${}K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom ${}F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.