Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1

Aufgabe (2 Punkte)

Multipliziere in $ℤ [x, y, z]$ die beiden Polynome

x^{5} + 3 x^{2} y^{2} - x y z^{3} und 2 x^{3} y z + z^{2} + 5 x y^{2} z - x^{2} y .

Aufgabe (2 Punkte)

Multipliziere in $ℤ / (5) [x, y]$ die beiden Polynome

x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - x y^{3} + 2 y^{3} und x^{4} y + 4 x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y^{2} + 2 y^{2} .

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R [X]$ der Polynomring über $R$ . Zeige, dass die Einheiten von $R [X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.

Zeige auch, dass diese Aussage nicht für beliebige kommutative Ringe gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe in $ℤ / (7) [X]$ folgende Polynomdivision aus.

X^{4} + 5 X^{2} + 3 durch 2 X^{2} + X + 6.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring $𝔽_{3} [X]$ alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad $4$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

$K$ ist algebraisch abgeschlossen.
Jedes nicht-konstante Polynom $F \in K [X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

x^{2} + y^{2} = 1

für die Körper $K = ℤ / (2)$ , $ℤ / (5)$ und $ℤ / (11)$ .