Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{} und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mathl{V_n \subset \mathbb A^2_{\mathbb R}}{,} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I
}
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z[x]$ die im Beweis zum
Hilbertschen Basissatz
konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} sei. Zeige, dass ein Element $f \in A$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und sei $A$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ A
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y]/(F)} { }
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$K[T]$-Algebra ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $R$ und $T$ endlich über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ endlich über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der \anfuehrung{dual}{} zum Begriff des noetherschen Moduls ist.
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt \definitionswort {artinsch}{,} wenn jede
absteigende Kette
\mathdisp {M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots} { }
von $R$-Untermoduln stationär wird.
Ein kommutativer Ring $R$ heißt
\definitionswortenp{artinsch}{,} wenn er als $R$-Modul artinsch ist.
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $A$ ein \definitionsverweis {artinscher}{}{} Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K$-Algebra. Zeige: Dann ist $A$ \definitionsverweis {artinsch}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige: Wenn $M$
\definitionsverweis {artinsch}{}{} und
\mathl{\phi: M \to M}{} $R$-linear und injektiv ist, so ist $\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das $M$ noethersch ist.
}
{} {}