Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10

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Aufgabe (4 Punkte)

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen , die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären -Ecks (mit als einem Eck) besteht.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra, die als -Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

eine endliche -Algebra ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.


Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und eine endliche -Algebra. Zeige: Dann ist artinsch.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige: Wenn artinsch und -linear und injektiv ist, so ist ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das noethersch ist.