Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra $R$ wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{} kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{}
und
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
und
\maabb {\psi} { S } { T
} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{.}
Man zeige, dass für die zugehörigen
\definitionsverweis {Spektrumsabbildungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^*
}
{ =} { \varphi^* \circ \psi^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität
\maabb {\operatorname{Id}} { R } { R
} {}
auch $\operatorname{Id}^*$ die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man beschreibe zu einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ von endlichem Typ die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Strukturhomomorphismus}{}{} \maabb {} {K} {R } {} der Algebra gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} $R,S$ \definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{} und einer \definitionsverweis {stetigen Abbildung}{}{} zwischen den zugehörigen $K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{,} die nicht von einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} herrühren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V ( {\mathfrak a} )
}
{ =} { V(\operatorname{rad} \, ( {\mathfrak a} ))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{ K }
} {}
die zum
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
gehörende
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^*)^{-1} (0)
}
{ =} { V(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{ K }
} {}
die zum
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
gehörende
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass $F$ genau dann konstant ist, wenn $\varphi^*$ konstant ist.
}{Zeige, dass diese Aussage für einen endlichen Körper nicht gelten muss.
}
}
{Man mache sich dabei die unterschiedliche Bedeutung von \anfuehrung{konstant}{} klar.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ R_{\rm red}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {integren}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{} $R$ und $S$ und einem $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} { R } { S } {,} der kein \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} ist, wo aber die induzierte \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabb {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Es sei eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
der Form
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K}
} { t } { (t^2, \psi(t))
} {,}
gegeben
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \psi(t)
}
{ \in }{ K[t]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn $\psi$ die Form hat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ =} { at^n+\theta(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$n$ ungerade und $\theta(t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.
}
{} {}