Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra wirklich eine Topologie ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative -Algebren von endlichem Typ und und seien -Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität auch die Identität ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe zu einer kommutativen -Algebra von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen -Algebren von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen -Spektren, die nicht von einem -Algebrahomomorphismus herrühren kann.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal in die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn konstant ist.

Man mache sich dabei die unterschiedliche Bedeutung von „konstant“ klar.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren -Algebren von endlichem Typ und und einem -Algebrahomomorphismus , der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ein Homöomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

gegeben (mit ) Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Form hat

mit , ungerade und ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.