Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16/latex
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {500px-Xmas_tree_animated.gif} }
\end{center}
\bildtext {Frohe Weihnachten!} }
\bildlizenz { 500px-Xmas tree animated.gif } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$-Algebra. Zeige, dass ein
\definitionsverweis {irreduzibler Filter}{}{}
durch offene Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine affine Varietät und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n \in X}{} endlich viele Punkte. Es sei $F$ der
\definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{}
dieser Punkte und ${\mathcal O}_F$ der zugehörige
\definitionsverweis {Halm}{}{.}
Zeige, dass ${\mathcal O}_F$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn
\mathl{n=1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Zeige, dass die Einheiten in $\Gamma (U, {\mathcal O}_U )$ den Morphismen von $U$ nach
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ \times } }={\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}}{} entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphis\-mus}{}{}
mit zugehörigem Morphismus
\maabb {=\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist injektiv.
}{Das Bild von $\varphi^*$ ist
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.}
}{$\varphi$ induziert einen Ringhomomorphismus
\mathl{Q(R) \rightarrow Q(S)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ zwei
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.}
Es sei ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {Q(R) } { Q(S)
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Quotientenkörpern}{}{}
gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{} und einen Morphismus
\maabbdisp {} {U} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {}
gibt, der $\varphi$ induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(XW-YZ)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe eine offene Menge
\mathl{U \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }}{} derart, dass der zu
\mathl{U \cap V \subseteq U}{}
gehörende Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O} )} { \Gamma (U \cap V, {\mathcal O} )
} {}
nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_1$ und $C_2$ über $\mathbb C$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} { C_1} {C_2 } {,} der \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten $V_1$ und $V_2$ und einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabbdisp {{\psi}} {V_1} {V_2 } {,} der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.
}
{(und daher auch kein Morphismus)} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}=(f_1 , \ldots , f_n)}{} ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f \in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R[T_1, \ldots , T_{n}]/(f_1 T_{1} + \cdots + f_{n}T_{n}+f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mathl{\varphi(f) \in {\mathfrak a}S}{} gibt es einen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabb {\vartheta} {A} {S
} {.}
Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{} Elemente in $R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R[T_1, \ldots , T_{n}]/(f_1 T_{1} + \cdots + f_{n}T_{n}+f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {erzwingende Algebra}{}{}
zu diesen Daten. Charakterisiere die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
des zugehörigen Morphismus
\maabbdisp {} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( A \right) } } {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
und sei
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{.}
Es seien
\mathl{q=g_i/h_i}{,}
\mathl{i=1, \ldots, n}{,} lokale Darstellungen von $f$ auf
\mathl{D(h_i)\subseteq U}{.} Zeige, dass das Urbild $f^{-1}(0)$ gleich der abgeschlossenen Menge
\mathl{V(h_1g_1, \ldots ,h_ng_n) \cap U}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $U$ eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und sei
\maabbdisp {{\psi}} {U} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
Zeige, dass ${\psi}$ genau dann durch die abgeschlossene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
faktorisiert, wenn ${\mathfrak a}$ im
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des globalen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\psi}} {K[T_1, \ldots , T_{n}] } { \Gamma (U, {\mathcal O}_U )
} {}
liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige, dass der Ring $\Gamma (U, {\mathcal O} )$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine offene Teilmenge und
\maabb {f} {U} {K
} {}
eine Funktion. Es sei
\mathl{U=\bigcup_{i \in I}U_i}{} eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen
\mathl{f_i=f\!\mid_{U_i}}{} algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann $f$ selbst algebraisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {saturiertes}{}{} \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von \stichwort {Filter} {} derart, dass einerseits die \definitionsverweis {topologischen Filter}{}{} und andererseits die \definitionsverweis {saturierten multiplikativen Systeme}{}{} sich als Spezialfälle ergeben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine affine Varietät und
\mathl{Z \subseteq X}{} eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umgebungsfilter}{}{}
$U(Z)$ von offenen Mengen der Form $D(f)$ erzeugt wird.
}
{} {}