Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $X = K - Spek (R)$ das $K$ -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen $K$ -Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form $D (f)$ erzeugt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Ultrafilter irreduzibel ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $X = K - Spek (R)$ eine affine Varietät und seien $P_{1}, \dots, P_{n} \in X$ endlich viele Punkte. Es sei $F$ der Umgebungsfilter dieser Punkte und $𝒪_{F}$ der zugehörige Halm. Zeige, dass $𝒪_{F}$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn $n = 1$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in $K$ sich als Morphismen realisieren lassen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ . Zeige, dass die Einheiten in $Γ (U, 𝒪_{U})$ den Morphismen von $U$ nach $𝔸_{K}^{\times} = 𝔸_{K}^{1} ∖ {0}$ entsprechen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ integre $K$ -Algebren von endlichem Typ. Es sei $φ : R \to S$ ein $K$ -Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus $φ^{*} : K - Spek (S) \to K - Spek (R)$ . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

a) $φ$ ist injektiv.

b) Das Bild von $φ^{*}$ ist dicht in $K - Spek (R)$ .

c) $φ$ induziert einen Ringhomomorphismus $Q (R) \to Q (S)$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $R$ und $S$ zwei integre $K$ -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein $K$ -Algebrahomomorphismus

φ : Q (R) ⟶ Q (S)

zwischen den Quotientenkörpern gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge $U \subseteq K - Spek (S)$ und einen Morphismus

U ⟶ K - Spek (R)

gibt, der $φ$ induziert.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte $V = V (X W - Y Z) \subseteq 𝔸_{K}^{4}$ . Beschreibe eine offene Menge $U \subseteq 𝔸_{K}^{4}$ derart, dass der zu $U \cap V \subseteq U$ gehörende Ringhomomorphismus

Γ (U, 𝒪) ⟶ Γ (U \cap V, 𝒪)

nicht surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ über $ℂ$ und einem Morphismus

ψ : C_{1} ⟶ C_{2},

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten $V_{1}$ und $V_{2}$ und einem Morphismus

ψ : V_{1} ⟶ V_{2},

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

(und daher auch kein Morphismus)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞 = (f_{1}, \dots, f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f \in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$ -Algebra

A = R [T_{1}, \dots, T_{n}] / (f_{1} T_{1} + \dots + f_{n} T_{n} + f)

die erzwingende Algebra zu den $f_{1}, \dots, f_{n}, f$ . Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus $φ : R \to S$ in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft $φ (f) \in 𝔞 S$ gibt es einen $R$ -Algebrahomomorphismus $ϑ : A \to S$ . Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ eine kommutative $K$ -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien $f_{1}, \dots, f_{n}, f$ Elemente in $R$ und es sei

A = R [T_{1}, \dots, T_{n}] / (f_{1} T_{1} + \dots + f_{n} T_{n} + f)

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Charakterisiere die Fasern des zugehörigen Morphismus

K - Spek (A) ⟶ K - Spek (R) .

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $U \subseteq K - Spek (R)$ eine quasiaffine Varietät und sei $f \in Γ (U, 𝒪)$ eine algebraische Funktion. Es seien $q = g_{i} / h_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , lokale Darstellungen von $f$ auf $D (h_{i}) \subseteq U$ (die $U$ überdecken). Zeige, dass das Urbild $f^{- 1} (0)$ gleich der abgeschlossenen Menge $V (h_{1} g_{1}, \dots, h_{n} g_{n}) \cap U$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei

ψ : U ⟶ 𝔸_{K}^{n}

ein Morphismus. Zeige, dass $ψ$ genau dann durch die abgeschlossene Menge $V (𝔞) \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ faktorisiert, wenn $𝔞$ im Kern des globalen Ringhomomorphismus

\tilde{ψ} : K [T_{1}, \dots, T_{n}] ⟶ Γ (U, 𝒪_{U})

liegt.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass der Ring $Γ (U, 𝒪)$ reduziert ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ eine kommutative $K$ -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei $U \subseteq K - Spek (R)$ eine offene Teilmenge und $f : U \to K$ eine Funktion. Es sei $U = ⋃_{i \in I} U_{i}$ eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen $f_{i} = f ∣_{U_{i}}$ algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann $f$ selbst algebraisch ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔭$ ein Primideal. Zeige, dass $𝔭$ genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung $R_{𝔭}$ ein Körper ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in $R$ ein saturiertes multiplikatives System bildet.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von Filter derart, dass einerseits die topologischen Filter und andererseits die saturierten multiplikativen Systeme sich als Spezialfälle ergeben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $X = K - Spek (R)$ eine affine Varietät und $Z \subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der Umgebungsfilter $U (Z)$ von offenen Mengen der Form $D (f)$ erzeugt wird.