Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

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Frohe Weihnachten!


Aufgabe (2 Punkte)

Sei das -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra. Zeige, dass ein irreduzibler Filter durch offene Mengen der Form erzeugt wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein topologischer Raum. Zeige, dass ein Ultrafilter irreduzibel ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine affine Varietät und seien endlich viele Punkte. Es sei der Umgebungsfilter dieser Punkte und der zugehörige Halm. Zeige, dass genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Addition, die Multiplikation, das Negative, das Inverse und die Division in sich als Morphismen realisieren lassen.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass die Einheiten in den Morphismen von nach entsprechen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus mit zugehörigem Morphismus . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist injektiv.
  2. Das Bild von ist dicht in .
  3. induziert einen Ringhomomorphismus .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus

zwischen den Quotientenkörpern gegeben. Zeige, dass es eine offene Teilmenge und einen Morphismus

gibt, der induziert.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte . Beschreibe eine offene Menge derart, dass der zu gehörende Ringhomomorphismus

nicht surjektiv ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Kurven und über und einem Morphismus

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrabbildung nicht stetig in der metrischen Topologie ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei affinen Varietäten und und einem Morphismus

der bijektiv ist, wo aber die Umkehrungabbildung nicht stetig (in der Zariski-Topologie) ist.

(und daher auch kein Morphismus)

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei ein weiteres Element. Dann nennt man die -Algebra

die erzwingende Algebra zu den . Zeige, dass folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem Ringhomomorphismus in einen kommutativen Ring mit der Eigenschaft gibt es einen -Algebrahomomorphismus . Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es seien Elemente in und es sei

die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Charakterisiere die Fasern des zugehörigen Morphismus


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine quasiaffine Varietät und sei eine algebraische Funktion. Es seien , , lokale Darstellungen von auf . Zeige, dass das Urbild gleich der abgeschlossenen Menge ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

ein Morphismus. Zeige, dass genau dann durch die abgeschlossene Menge faktorisiert, wenn im Kern des globalen Ringhomomorphismus

liegt.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass der Ring reduziert ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Sei eine offene Teilmenge und eine Funktion. Es sei eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann selbst algebraisch ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Zeige, dass genau dann ein minimales Primideal ist, wenn die Reduktion der Lokalisierung ein Körper ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ein saturiertes multiplikatives System bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid. Finde eine allgemeine Definition von Filter derart, dass einerseits die topologischen Filter und andererseits die saturierten multiplikativen Systeme sich als Spezialfälle ergeben.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine affine Varietät und eine abgeschlossene Teilmenge. Zeige, dass der Umgebungsfilter von offenen Mengen der Form erzeugt wird.