Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die
$R$-\definitionsverweis {Algebraiso\-mor\-phie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[\Z^n]
}
{ \cong} { R[X_1 , \ldots , X_n]_{X_1 \cdots X_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.
\aufzaehlungvier{ \definitionsverweis {Filter}{}{}
in $M$.
}{
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , (\{0,1\},1,\cdot))}{.}
}{
\mathl{{\mathbb F}_2-\operatorname{Spek} \, (M)}{}
}{
\mathl{{ \left\{ \varphi \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \mid \varphi(M) \subseteq \{0,1\} \right\} }}{.}
\zusatzklammer {Dabei ist $K$ ein Körper.} {} {}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{.} Zeige, dass es in $M$ einen kleinsten \definitionsverweis {Filter}{}{} gibt und dass dieser eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die \definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das durch zwei
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugt werde. Bestimme die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,}
die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,}
die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5,7$ und $9$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch
\mathl{3,7,9}{} und $11$ erzeugt wird, die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien $M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den $K$-Spektren
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }= \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , K)}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }= \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( N , K)}{.} Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus
\mathl{\varphi:M \rightarrow N}{} die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $M,N$
\definitionsverweis {numerische Monoide}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{Es ist dabei hilfreich, die Aussage 18.10 zu verwenden.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $M,N$
\definitionsverweis {numerische Monoide}{}{.}
Für welche der numerischen Invarianten $\nu$
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,}
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{,}
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{,}
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}} {} {}
folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(M)
}
{ \geq }{ \nu(N)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{(Beweis oder Gegenbeispiel)} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das nicht isomorph zu $\N$ sei, und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring $K[M]$ \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} gibt, die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind. Man gebe Elemente aus $K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.
}
{} {}