Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring. Beweise die -Algebraisomorphie

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.

  1. Filter in .
  2. .
  3. . (Dabei ist ein Körper.)


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid. Bestimme die Filter in .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente erzeugt werde. Bestimme die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid , das durch und erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid , das durch und erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide mit den -Spektren und . Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien numerische Monoide mit . Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist.

Es ist dabei hilfreich, die Aussage 18.10 zu verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Seien numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus die Abschätzung ?

(Beweis oder Gegenbeispiel)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu sei, und sei ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.