Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.

1. Filter in ${}M$.
2. ${}\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,(\{0,1\},1,\cdot ))$.
3. ${}{\mathbb {F} }_{2}-\operatorname {Spek} \,(M)$
4. ${}{\left\{\varphi \in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\mid \varphi (M)\subseteq \{0,1\}\right\}}$. (Dabei ist ${}K$ ein Körper.)

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in ${}M$ einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die Filter in ${}M$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente ${}d>e$ erzeugt werde. Bestimme die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad von ${}M$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid ${}M$, das durch ${}5,7$ und ${}9$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid ${}M$, das durch ${}3,7,9$ und ${}11$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den ${}K$-Spektren ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}M,N$ numerische Monoide mit ${}M\subseteq N$. Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist.

Es ist dabei hilfreich, die Aussage 18.10 zu verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M,N$ numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten ${}\nu$ (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus ${}M\subseteq N$ die Abschätzung ${}\nu (M)\geq \nu (N)$?

(Beweis oder Gegenbeispiel)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu ${}\mathbb {N}$ sei, und sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring ${}K[M]$ irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus ${}K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.