Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21/latex
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} {f} {\operatorname{ord} \, (f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q)
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre $K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein endlicher injektiver $K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann \maabb {\varphi^*} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }} {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } {} surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jeder Zwischenring
\mathbed {S} {}
{R \subseteq S \subseteq Q} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Charakterisiere die \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
$R^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ =} {{ \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings $K[M]$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ =} { (M_{\geq f})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht, wobei $f$ die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
des Monoids bezeichnet.
}
{} {}
Die drei folgenden Aufgaben knüpfen an Diskussionen der Übung an.
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} maximal gleich der
\definitionsverweis {Multiplizität
}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} gleich der
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{} ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids $M$ mit Multiplizität $3$ und Einbettungsdimension $3$ an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.
}
{} {}