Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21

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Aufgabe (4 Punkte)

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 21.4 formuliert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein diskreter Bewertungsring. Definiere zu einem Element , , die Ordnung

Dabei soll die Definition mit der Ordnung für Elemente aus übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein endlicher injektiver -Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann surjektiv ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Charakterisiere die endlich erzeugten -Untermoduln von . Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich mit Normalisierung . Zeige, dass durch

ein Ideal in gegeben ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings die Beziehung

besteht, wobei die Führungszahl des Monoids bezeichnet.


Die drei folgenden Aufgaben knüpfen an Diskussionen der Übung an.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die Einbettungsdimension maximal gleich der Multiplizität ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die Einbettungsdimension gleich der Multiplizität ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der Führungszahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids mit Multiplizität und Einbettungsdimension an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.