Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.8.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Cardioid} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cardioid.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Singularitäten
\zusatzklammer {mit Multiplizitäten und Tangenten} {} {}
der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Kardioide
\mathdisp {V((X^2+Y^2)^2- 2X(X^2+Y^2)-Y^2)} { }
im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte den Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+Y^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K [ \![ T ]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den Anfangsbedingungen
\mathl{a_0=1,\, a_1=0,\, b_0=0,\, b_1=1}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(T)^2+H(T)^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Neilsche Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(Y^3-X^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen
\zusatzklammer {bis zum fünften Glied} {} {}
derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen
\zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {}
isomorph zum
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte zu einem
\definitionsverweis {lokalen Ring}{}{}
$R$ mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ das Diagramm
\mathdisp {\longrightarrow R/{\mathfrak m}^4 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^3 \longrightarrow R/{\mathfrak m}^2 \longrightarrow R/{\mathfrak m}} { . }
Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen
\maabb {\varphi_{n}} { R/{\mathfrak m}^{n+1} } { R/{\mathfrak m}^n
} {,}
die durch die Idealinklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
induziert werden. Eine Folge von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{ R/{\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \stichwort {verträglich} {,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_n(a_{n+1})
}
{ = }{ a_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente
\zusatzklammer {diesen Ring nennt man die
\definitionswortenp{Komplettierung}{} von $R$} {} {.}
Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.
}
{Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $I$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {\{x + I^n \, \vert \, n \in \N \} \quad (x \in R)} { }
Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigcap_n I^n
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $K[T]$ der
\definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{.}
Es sei $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $K[T]$ am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Komplettierung}{}{}
von $R$ isomorph zum
\definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{}
$K [ \![ T]\! ]$ ist.
}
{} {}