Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25

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Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ) der eingesetzten Potenzreihe im Sinne von Definition 24.9.


Cardioid.svg


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch

gegebenen Kardioide.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Kardioide

im Punkt . Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Einheitskreis im Punkt . Bestimme Potenzreihen und mit den Anfangsbedingungen und mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Neilsche Parabel im Punkt . Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzeihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper. Eine formale Laurentreihe ist eine unendliche Summe der Form

Zeige, dass der Ring der formalen Laurentreihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes ist.


Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte zu einem lokalen Ring mit maximalem Ideal das Diagramm

Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen , die durch die Idealinklusionen induziert werden. Eine Folge von Elementen

heißt verträglich, wenn für alle gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von .) Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von in die Komplettierung gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von in die Komplettierung von injektiv ist.

Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeigen Sie, dass durch

Umgebungsbasen definiert werden. Zeigen Sie außerdem, dass die auf induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn .

Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring in einer Variablen. Es sei die Lokalisierung von am maximalen Ideal . Zeige, dass die Komplettierung von isomorph zum Potenzreihenring ist.