Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?
}
{Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte
\mathl{(2,3,7)}{} und
\mathl{(1,5,-2)}{.}} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Definiere eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{}
${\mathbb P}^{n}_{K}$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man definiere den Begriff \stichwort {projektiv-linearer Unterraum} {} eines projektiven Raumes ${\mathbb P}^{n}_{K}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei ${\mathbb P}^{n}_{K}$ ein projektiver Raum der Dimension $n$ und es seien
\mathl{X,Y \subseteq {\mathbb P}^{n}_{K}}{} projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei
\mathl{r+s \geq n}{.} Zeige, dass dann
\mathl{X \cap Y \neq \emptyset}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots ,X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{}
ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform
\mathl{L \in K[X_0 , \ldots , X_n]}{} derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_+(L)$ liegen.
}
{} {}
Die folgenden drei Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} auf dem \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der projektive Raum. Charakterisiere die
\definitionsverweis {homogenen Ideale}{}{}
${\mathfrak a}$, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+({\mathfrak a})
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb P}^{n}_{K}$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:
Für ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{}
$I$ in
\mathl{R=A[X_0 , \ldots , X_n]}{} mit der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}
definiert man die \definitionswort {Sättigung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Saturierung}{}} {} {}
von $I$ als
\mathdisp {{ \left\{ r \in R \mid \text{es existiert ein } n \text{ mit } r \cdot (R_+)^n \subseteq I \right\} }} { . }
Dabei ist $R_+$ das
\definitionsverweis {irrelevante Ideal}{}{}
$\bigoplus_{d \geq 1}R_d=(X_0 , \ldots , X_n)$.
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $A$ ein kommutativer Ring und
\mathl{R = A[X_0, \ldots, X_n]}{} der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Sättigung}{}{} eines homogenen Ideals $I$ wieder ein homogenes Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}