Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte und in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte und .

Aufgabe (2 Punkte)

Definiere eine Äquivalenzrelation auf der Menge derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive -dimensionale Raum ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein endlicher Körper. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der projektive Raum besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Man definiere den Begriff projektiv-linearer Unterraum eines projektiven Raumes .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein projektiver Raum der Dimension und es seien projektiv-lineare Unterräume der Dimension und . Es sei . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein homogenes Ideal ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und sei eine endliche Ansammlung von Punkten in einem projektiven Raum . Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform derart, dass all diese Punkte auf der durch definierten offenen Teilmenge liegen.


Die folgenden drei Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum wirklich eine Topologie ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und der projektive Raum. Charakterisiere die homogenen Ideale , für die ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum irreduzibel ist.


Die folgende Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:


Für ein homogenes Ideal in mit der Standardgraduierung definiert man die Sättigung (oder Saturierung) von als

Dabei ist das irrelevante Ideal .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und der Polynomring mit der Standardgraduierung. Zeige, dass die Sättigung eines homogenen Ideals wieder ein homogenes Ideal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.