Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: $V$ ist genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,}
wenn $V$ einpunktig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne in $\mathbb A^3_{\R}$ den Schnitt des Zylinders
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Kugel mit Mittelpunkt
\mathl{P=(0,0,0)}{} und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?
}
{} {Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.}
Die folgende Aufgabe ist eine leichte Verallgemeinerung einer Aufgabe, die schon in der Zahlentheorie vorkam. Sie hilft auch in der übernächsten Aufgabe.
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $\Z/(p)$ der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.}
Zeige: Jede Quadrik der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { aX^2+bY^2+c
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $a,b \neq 0$ hat mindestens eine Lösung in $\Z/(p)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$\geq 3$ und $\Z/(p)$ der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.}
Es sei ein Polynom
\mathl{F \in \Z/(p) [X,Y]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \alpha X^2+\beta XY + \gamma Y^2 + \delta X + \epsilon Y + \eta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} die folgenden drei Alternativen bestehen.
\aufzaehlungdrei{$V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
}{
\mathl{F=c}{} mit einer Konstanten
\mathl{c\neq 0}{.}
}{Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt $Z^2-u$ mit einem Nichtquadrat $u \in \Z/(p)$ besitzt.
}
}
{(wenn $\alpha, \beta, \gamma$ nicht alle null sind, so ist das eine Quadrik)} {}
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper.
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}
}{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?}
}{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Sei $V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien
\mathl{P_1, \ldots , P_m \in V}{} endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch
\mathl{V \setminus \{ P_1, \ldots , P_m\}}{}
\zusatzklammer {in der induzierten Topologie} {} {} irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere ein Beispiel einer \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {irreduziblen}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraischen}{}{} Teilmenge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$. Zeige: Wenn
\mathl{F,G \in R[X]}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in
\mathl{Q(R)[X]}{} ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.
}
{(man darf sich auf Hauptidealbereiche beschränken)} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Betrachte die Menge der reellen Zahlen $\R$ mit der metrischen Topologie. Ist $\R$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Seien $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$ zwei Ideale in
\mathl{K[X_1, \ldots, X_n]}{} derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.
}
{} {}