Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten ${}F,G\in K[X,Y]$ als Elemente in ${}K(X)[Y]$, wobei ${}K(X)$ den Körper der rationalen Funktionen in ${}X$ bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe auch ${}F$ und ${}G$ keinen gemeinsamen Teiler in ${}K(X)[Y]$. Da dieser Ring ein Hauptidealbereich ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome ${}A,B\in K(X)[Y]$ mit ${}AF+BG=1$. Multiplikation mit dem Hauptnenner von ${}A$ und ${}B$ ergibt in ${}K[X,Y]$ die Gleichung ${}{\tilde {A}}F+{\tilde {B}}G=H$ mit ${}H\in K[X]$. Eine gemeinsame Nullstelle in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ von ${}F$ und von ${}G$ muss also eine Nullstelle von ${}H$ sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für ${}X$, für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von ${}X$ und von ${}Y$ vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für ${}Y$ gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.

Zur bewiesenen Aussage