Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme für die parametrisierte Kurve
\mathdisp {x= -3t^2+4t-2 \text{ und } y=2t^2+5t-3} { }
eine Kurvengleichung.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t^2+t^3, 2t^2-t^4) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die beiden Abbildungen
\mathdisp {(s,t) \longmapsto (s^2,t^2,st)=(x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto (s,st^2,st)=(x,y,z)} { . }
Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung $F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Welche Abbildung liefert eine \anfuehrung{bessere}{} Beschreibung von $V(F)$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise Lemma 6.8.
}
\inputaufgabe
{4}
{
Sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{F\in K[X,Y]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles}{}{}
Polynom. Die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
\mathl{V(F)}{} sei unendlich. Zeige, dass dann
\mathl{V(F)}{} eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraische}{}{}
Menge ist.
}
{Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ und
\mathl{a \in K}{} von $0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^2+Y^2+a \in K[X,Y]\,} { }
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{K= \mathbb Q}{} der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{.}
Begründe, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(X^2+Y^2-1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{\Q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
In den beiden folgenden Aufgaben werden die Begriffe \stichwort {abgeschlossene Abbildung} {} und \stichwort {offene Abbildung} {} verwendet.
Eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} $X$ und $Y$ heißt \definitionswort {abgeschlossen}{,} wenn Bilder von \definitionsverweis {abgeschlossenen Mengen}{}{} wieder abgeschlossen sind.
Sie heißt \stichwort {offen} {,} wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{} } {(x,y)} {x } {,} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Projektion \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {(x,y)} {x } {,} \definitionsverweis {offen}{}{} in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}