Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die parametrisierte Kurve

$x=-3t^{2}+4t-2\,\,{\text{ und }}\,\,y=2t^{2}+5t-3$

eine Kurvengleichung.

Die folgende Aufgabe erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2}+t^{3},2t^{2}-t^{4}),$

eine algebraische Gleichung der Bildkurve.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden Abbildungen

$(s,t)\longmapsto (s^{2},t^{2},st)=(x,y,z){\text{ und }}(s,t)\longmapsto (s,st^{2},st)=(x,y,z).$

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung ${}F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ${}V(F)$). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ${}V(F)$?

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Lemma 6.8.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein irreduzibles Polynom. Die Nullstellenmenge ${}V(F)$ sei unendlich. Zeige, dass dann ${}V(F)$ eine irreduzible affin-algebraische Menge ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und ${}a\in K$ von ${}0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom

$X^{2}+Y^{2}+a\in K[X,Y]\,$

irreduzibel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

${}V(X^{2}+Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$

irreduzibel ist oder nicht.

In den beiden folgenden Aufgaben werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

offen in der Zariski-Topologie ist.