Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6

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Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die parametrisierte Kurve

eine Kurvengleichung.


Die folgende Aufgabe erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden Abbildungen

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ?


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Lemma 6.8.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und ein irreduzibles Polynom. Die Nullstellenmenge sei unendlich. Zeige, dass dann eine irreduzible affin-algebraische Menge ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik und von verschieden. Zeige, dass das Polynom

irreduzibel ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

irreduzibel ist oder nicht.


In den beiden folgenden Aufgaben werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.


Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.


Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

offen in der Zariski-Topologie ist.