Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung yaa

Sei ${}V\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge und sei

${}p_{i}:\mathbb {A} _{K}^{n}\longrightarrow \mathbb {A} _{K}^{n-1}$

die Projektion, bei der einfach die ${}i$-te Koordinate ausgelassen wird. Wie kann man das Bild ${}p_{i}(V)$ beschreiben?

Beispiel

Es sei ${}C=V(XY-1)\subset \mathbb {A} _{K}^{2}$ die Hyperbel und betrachte die Projektion auf die erste Komponente. Es sei ${}C'$ das Bild von ${}C$ unter dieser Abbildung. ${}C'$ besteht offenbar aus allen Punkten der affinen Geraden mit der Ausnahme des Nullpunktes (da ${}0$ kein Inverses besitzt). Man sieht: Das Bild einer abgeschlossenen Menge unter einer affinen Projektion muss nicht abgeschlossen sein.