Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein Geldfälscher stellt $7$-, $11$-, $13$- und $37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für das \definitionsverweis {numerische Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5,7$ und $9$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} maximal gleich der \definitionsverweis {Multiplizität }{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein durch \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} Zahlen erzeugtes \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} bei dem die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} gleich der \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {numerischen Monoids}{}{} $M$ mit \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} $3$ und \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} $3$ an, bei dem die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} prim ist und nicht zum minimalen \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die \definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das durch zwei \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ > }{ e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erzeugt werde. Bestimme die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch
\mathl{3,7,9}{} und $11$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien $M,N$ \definitionsverweis {numerische Monoide}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{Es ist dabei hilfreich, Satz 18.10 zu verwenden.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N$ \definitionsverweis {numerische Monoide}{}{.} Für welche der numerischen Invarianten $\nu$ \zusatzklammer {\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} \definitionsverweis {Führungszahl}{}{,} \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{,} \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}} {} {} folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(M) }
{ \geq }{ \nu(N) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{?}

}
{(Beweis oder Gegenbeispiel)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das nicht isomorph zu $\N$ sei, und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring $K[M]$ \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} gibt, die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind. Man gebe Elemente aus $K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.

}
{} {}