Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Monoidhomomorphismus

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ) und den zugehörigen -Spektren.


Aufgabe

Seien kommutative Monoide. Zeige, dass durch

ein Untermonoid von gegeben ist, das umfasst.


Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide und . Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von nach eindeutig durch eine Matrix (mit Spalten und Zeilen) mit Einträgen aus bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

in eine Gruppe gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
  2. Die kanonische Abbildung ist injektiv.
  3. lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Beweise die -Algebraisomorphie

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.


Aufgabe

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide mit den -Spektren und . Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein Filter in einem kommutativen Monoid ist ein Untermonoid, das zusätzlich teilerstabil ist. D.h. falls ist und gilt, so ist auch .


Aufgabe

Sei ein kommutatives Monoid. Zeige, dass es in einen kleinsten Filter gibt und dass dieser eine Gruppe bildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper der Ringhomomorphismus genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ein mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme . Wie sieht es aus, wenn man durch ersetzt?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus , die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt   (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines -Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Monoide der Form . Beschreibe allgemein sowie für die Körper . Finde die idempotenten Elemente von .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten.

  1. Filter in .
  2. .
  3. . (Dabei ist ein Körper.)


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring betrachten. Sei nun weiter ein -Modul. Zeige, dass

  1. nichts anderes ist als ein -Vektorraum zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus .
  2. ein -Modulhomomorphismus eine -lineare Abbildung ist, für die zusätzlich für alle gilt.

Bemerkung: heißt dann eine Darstellung von . Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als und man kann mit Hilfe von oft hilfreiche Erkenntnisse über selbst gewinnen.



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