Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das von \definitionsverweis {teilerfremden}{}{} Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} von $M$ mit der \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} von $M$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} und $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Charakterisiere, für welche Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[I] }
{ =} { \bigoplus_{m \in I} T^m }
{ \subseteq} { R[M] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R[M]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Finde ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{} $M$ derart, dass eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[M] }
{ \cong} { K[X,Y,U,V]/(UX-VY) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{} von \definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F }
{ \subseteq }{ S_F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das durch
\mathl{3,5,7}{} erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Klassifiziere sämtliche \definitionsverweis {numerische Monoide}{}{} $M$ \zusatzklammer {mit teilerfremden Erzeugern} {} {} mit \definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(M) }
{ \leq }{ 6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man gebe jeweils die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Definiere
\mathdisp {M_+= M \cap \N_+ \text{ und } n M_+ = { \left\{ m \in M \mid \text{es gibt eine Darstellung } m = m_1+ \ldots +m_n \text{ mit } m_i \in M_+ \right\} }} { . }
Zeige, dass $nM_+$ \anfuehrung{Ideale}{} in $M$ sind, dass zu $M_+$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $nM_+$ gehörige Ideal gleich ${\mathfrak m}^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{} und sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} In welcher Beziehung steht
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M \times N] \right) }}{} zu
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.

}
{} {\zusatzklammer {Vergleiche Aufgabe 10.7} {} {.}}