Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein Körper und sei , eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt normal ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von gleich dem Quotientenkörper ist. Zeige, dass dann selbst schon ein Körper ist.


Aufgabe *

Sei ein normaler Integritätsbereich und , . Zeige, dass die Nenneraufnahme ebenfalls normal ist.


Aufgabe

Es sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme normal ist.


Aufgabe

Sei ein torsionsfreies Monoid. Zeige, dass dann auch die Differenzengruppe torsionsfrei ist.


Aufgabe

Sei ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die Torsionsfreiheit von äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus und für ein positives folgt stets . Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich mit Normalisierung . Zeige, dass durch

ein Ideal in gegeben ist.


Aufgabe

Sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings die Beziehung

besteht, wobei die Führungszahl des Monoids bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein normaler Integritätsbereich und eine ganze Ringerweiterung. Sei . Zeige, dass für das von erzeugte Hauptideal gilt:


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring normal ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Es sei vorausgesetzt, dass keine Quadratwurzel in besitzt. Zeige, dass das Polynom prim in ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist normal.
  2. Für jedes Primideal ist die Lokalisierung normal.
  3. Für jedes maximale Ideal ist die Lokalisierung normal.

(Man sagt daher, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Monoid und betrachte die Menge

Zeige, dass ein normales Untermonoid von ist.

(Dieses Monoid nennt man das duale Monoid zu .)

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte Beispiel 20.11. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen nach , durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus

(Diesen Kokern nennt man die Divisorenklassengruppe des Monoidringes.)



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