Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die parametrisierte Kurve
\mathdisp {x= -3t^2+4t-2 \text{ und } y=2t^2+5t-3} { }
eine Kurvengleichung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die durch \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } { t } { (t+t^2,t^3) = (x,y) } {,} definierte Parametrisierung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist. Man gebe auch einen Punkt in der affinen Ebene an, der nicht auf der Bildkurve liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschieden. Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+Y^2+a }
{ \in} { K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{ Beweise Lemma 6.9. }

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt in der affinen Ebene und $L$ und $L'$ verschiedene Geraden durch $P$. Es sei
\mathbed {C = V(F)} {}
{F \in K[X,Y]} {}
{} {} {} {,} eine ebene algebraische Kurve. Beschreibe explizit eine Variablentransformation \zusatzklammer {einen Koordinatenwechsel} {} {} derart, dass in den neuen Koordinaten $P$ der Nullpunkt wird und die Geraden zum Achsenkreuz werden. Wie lautet die Kurvengleichung in den neuen Koordinaten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für \definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V,V' }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung der \definitionsverweis {affin-linearen Äquivalenz}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { {\mathbb A}^{2}_{ K } } {} eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} und sei $C$ eine ebene \definitionsverweis {rationale}{}{} Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass $C$ durch $\varphi$ nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann $\overline{\varphi(C)}$ ebenfalls eine rationale Kurve ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{ K } \supseteq D(s) } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } { (s,t) } { \left( s , \, { \frac{ t^2 }{ s } } , \, t \right) = (x,y,z) } {.} Bestimme eine algebraische Gleichung $F$ für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.11 diskutierten Abbildungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in $n$ Variablen und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der Polynomring in
\mathl{n+1}{} Variablen. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ F } }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} und zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathl{\tilde{ G }}{} die \zusatzklammer {durch
\mathl{Z \mapsto 1}{} gegebene} {} {} \definitionsverweis {Dehomogenisierung}{}{} von $G$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ \hat{ F } } }
{ = }{ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} aber nicht
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \hat{ \tilde{ G } } }
{ = }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in
\mathl{n+1}{} Variablen. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{} vom gleichen Grad. Für die \definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {} gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ G } }
{ = }{ \tilde{ H } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

Die folgende Aufgabe erfordert eventuell den Einsatz eines Computers.


\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { (t^2+t^3, 2t^2-t^4) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die beiden Abbildungen
\mathdisp {(s,t) \longmapsto (s^2,t^2,st)=(x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto (s,st^2,st)=(x,y,z)} { . }
Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung $F$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach $V(F)$). Welche Abbildung liefert eine \anfuehrung{bessere}{} Beschreibung von $V(F)$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} Polynom. Die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
\mathl{V(F)}{} sei unendlich. Zeige, dass dann
\mathl{V(F)}{} eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {affin-algebraische}{}{} Menge ist.

}
{Man gebe auch ein Beispiel, dass diese Aussage in drei Variablen falsch ist.} {}