Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 5

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge . Zeige, dass für jeden Punkt und jeden Skalar auch ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe

Sei ein Körper und ein homogenes Polynom. Es sei ein Faktorzerlegung. Zeige, dass und ebenfalls homogen sind.


Aufgabe

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.


Die folgenden zwei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom an.


Aufgabe

Sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve überabzählbar viele Elemente besitzt.


Aufgabe

Berechne das Bild des Polynoms

unter dem durch

definierten Einsetzungshomomorphismus

Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper und es sei ein Polynom mit der zugehörigen Abbildung

Zeige mit und ohne Satz 5.11, dass das Bild von einpunktig oder unendlich ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und

Punkte in der affinen Ebene. Zeige, dass es genau dann eine polynomiale Abbildung

mit gibt, wenn ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?


Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ) derart, dass das Bild von unter der Abbildung die Standardkugel wird.


Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.

Aufgabe (4 Punkte)

Seien und affin-algebraische Mengen in zu . Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei für und auch für für nicht gilt.



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