Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorwort zum Skript

Vorwort

Dieses Skript gibt die Vorlesung Algebraische Zahlentheorie wieder, die ich im Wintersemester 2020/2021 im Masterstudiengang Mathematik an der Universität Osnabrück gehalten habe. Wegen Corona wurden die Vorlesungen vor leerem Publikum aufgezeichnet. Inhaltlich stehen die Zahlbereiche im Mittelpunkt, wobei quadratische Zahlbereiche und Kreisteilungsringe die Hauptbeispiele bilden, die immer wieder aufgegriffen werden. Es werden einige wenige Grundbegriffe aus der (kommutativen) Algebra und der Galoistheorie vorausgesetzt, die wichtigsten algebraischen Grundlagen wie Ganzheit, Dedekindbereich, Invariantenringe werden aber entwickelt. Hauptresultate sind die eindeutige Idealzerlegung, die Endlichkeit der Klassenzahl und der Einheitensatz von Dirichlet. Die Analogie zur funktionentheoretischen Situation wird zwar herausgestellt, aber nicht durchgängig in gleicher Konsequenz verfolgt. Zahlbereiche und ihre Spektren werden als endliche Erweiterungen von Spek ${}\mathbb {Z}$ geometrisch realisiert, die relative Situation wird aber etwas vernachlässigt. Verzweigung und Zerlegung wird unter unterschiedlichen Aspekten behandelt.

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Bei Frau Marianne Gausmann bedanke ich mich für die Erstellung der Pdf-Files und bei den Studierenden für einzelne Korrekturen und Anregungen.

Holger Brenner