Kurs:Algorithmen und Datenstrukturen/Vorlesung/Lineare Optimierung

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Lineare Optimierung[Bearbeiten]

Auf dieser Seite wird die lineare Optimierung behandelt. Eine lineare Optimierungsaufgabe ist: Maximiere eine lineare Funktion in mehreren Variablen

.

Die lineare Nebenbedingung sind gegeben als lineare Gleichungen:

...

Dies entspricht dem Gleichungssystem:

Doch ist das ausdrucksstark genug für unsere Probleme?

Umformung von Gleichungssystemen[Bearbeiten]

Beliebige Systeme lassen sich in die Standardform übertragen.

  • Minimieren ist wie maximieren:
  • Bedingungen statt Bedingungen:
  • Gleichung zu Ungleichung:
  • Ungleichung zu Gleichung (Schlupfvariablen einführen):
  • kann negativ sein:

Beispiel Gewinnmaximierung[Bearbeiten]

Eine Firma produziert zwei verschiedene Waren. Ware erbringt einen Gewinn von einem Euro. Ware erbringt einen Gewinn von 6 Euro. Die Frage hierzu lautet, welches Verhältnis von und führt zum größten Gewinn? Dazu gibt es zwei Nebenbedingungen:

  • Die Firma kann täglich maximal 200 Einheiten der Ware produzieren und maximal 300 Einheiten der Ware
  • Insgesamt kann die Firma maximal 400 Einheiten pro Tag produzieren

Die Firma beschließt eine weitere Ware zu produzieren.

  • Die Ware bringt einen Gewinn von 13 Euro.
  • Die maximale Tagesproduktion liegt weiterhin bei 400 Einheiten.
  • Für die Produktion von Ware und Ware wird dieselbe Maschine verwendet, allerdings ist der Produktionsaufwand für dreimal höher. Insgesamt kann die Maschine 600 Arbeitsschritte leisten.

Formuliere, die Zielfunktion: .

Anschließend formuliere die Nebenbedingungen:


Polyeder


Die Nebenbedingungen definieren ein drei-dimensionales Polyeder, in dem die optimale Lösung liegt.

Nun formen wir in die Normalform um:



Polyeder


Die Nebenbedingungen definieren nun ein Polyeder, in dem die optimale Lösung liegt.



Polyeder





Die Zielfunktion ist eine Gerade. Nun wird die Gerade verschoben, bis das Maximum erreicht ist.




Die Linearen Optimierungsprobleme der Form

besitzen genau dann eine endliche Optimallösung, wenn sie eine optimale Ecklösung (= „Ecke“ des zugehörigen Polyeders) besitzen. D.h. man muss zur Lösungsfindung nur die Ecken des Polyeders betrachten.




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