Auf dieser Seite wird das Simplex Verfahren behandelt.
Es wird in einer beliebigen Ecke des Polyeders begonnen. Dann wird verglichen, ob einer der Nachbarn eine bessere Lösung für die Optimierung bietet und anschließend wird dieser Knoten betrachtet. Am Ende erreichen wir eine Ecke, die keinen Nachbarn mit einer besseren Lösung hat. Die Lösung ist nun ein lokales Optimum. Bei der linearen Optimierung gilt, dass ein lokales Optimum automatisch ein globales Optimum ist, da der Polyeder eine konvexe Menge ist.
Graphisch kann mit dieser Idee jedes lineare Optimierungsproblem gelöst werden. Dies wird aber sehr schnell unübersichtlich (und kann schlecht implementiert werden). Wir benötigen eine einfache Charakterisierung der “Ecken” des Polyeders. Diese erhalten wir durch Betrachtung der Basen der Matrix A.
Das Simplex-Verfahren löst ein lineares Programm in endlich vielen Schritten oder stellt seine Unlösbarkeit oder Unbeschränktheit fest.
Im Worstcase hat es exponentielle Laufzeit unabhängig von den gewählten Pivotregeln, in der Praxis ist es sehr effizient.
Das Simplex-Verfahren berechnet auch die Lösung für das duale Problem zu einem linearen Programm.
Wiederholung algebraischer Grundlagen[Bearbeiten]
Seien
.
- Die Linearkombination von
mit den Koeffizienten
ist der Vektor
.
- Die Vektoren
sind linear abhängig, wenn es ein
gibt, so dass sich
als Linearkombination von
darstellen lässt.
- Eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren heißt Basis des zugehörigen Raumes. Eine Basis des
besteht beispielsweise aus m linear unabhängigen Vektoren.
- Der Rang einer Matrix A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.
Matrix lineares Optimierungsproblem[Bearbeiten]
,
Da wir für jede unserer ursprünglichen Ungleichungen eine Schlupfvariable eingeführt haben, gilt stets Rang(A)=m (=Anzahl der Gleichungen=Länge des Vektors b).
Basis und Basislösung[Bearbeiten]
Auf dieser Seite werden die Basen und Basislösungen beim Simplex Verfahren behandelt.
Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem
.
Dann bilden m lineare unabhängige Spaltenvektoren aus A eine Basis von A. Diese wird mit
bezeichnet. B enthält die Indices der Basisvektoren. N enthält die Indices der Nichtbasisvektoren. Die Basislösung
ist gegeben durch:
dies gilt genau dann wenn:
.
ist eine zulässige Basis von A, wenn gilt
. Wenn
ist, dann ist es eine zulässige Basislösung von A.
Nicht-Basisvariablen werden stets auf 0 gesetzt. Die zulässige Basislösung von A mit Zielfunktionswert 0, die man durch einsetzen erhält ist dann (0,0,200,300,400).
Nicht-Basisvariablen werden stets auf 0 gesetzt.
Die zulässige Basislösung von A, die man durch einsetzen erhält ist dann (200,0,0,300,200) mit dem Zielfunktionswert 200.
Hier gibt es eine Übersicht der Basen von A mit dessen zulässigen Lösungen.
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x
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Basen von A- mit unzulässigen Lösung[Bearbeiten]
Hier gibt es eine Übersicht der Basen von A mit unzulässigen Lösungen.
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x
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Diese Basen haben keine zulässige Lösungen, da
negative Werte enthält.
Die Teilmengen
von A sind keine Basen von A, da die Vektoren jeweils linear abhängig sind.
Charakterisierung von Polyederecken[Bearbeiten]
Warum schauen wir uns Basen und Basislösungen an? Wir waren doch an Ecken des Polyeders interessiert...
Sei das System
gegeben,
. Dann sind äquivalent:
- x ist eine Ecke des zugehörigen Polyeders
- x ist eine zulässige Basislösung von Ax=b
Wir wissen, dass die optimale Lösung in einem Eckpunkt liegen muss, falls sie existiert. D.h. wir müssen nur über die Basen von A optimieren (diese bestimmen ja die zulässigen Basislösungen von Ax=b). Dies erfolgt mit sogenannten Tableaus.
Das Simplex-Verfahren besteht aus einer Folge von Basen bzw. Tableus.
- Zuerst wird die zulässige Basis
gefunden und daraus das Starttableau konstruiert.
- Anschließend wir eine neue zulässige Basis
aus
konstruiert, so dass die zulässige Basislösung von
besser ist, als die von
. Das Tableau wird nun aktualisiert.
- Wenn es keine bessere Basislösung mehr gibt, dann ist die letzte optimal.
Ein Tableau entspricht dem Gleichungssystem
mit
.
ist ein Simplextableau zur Basis
mit
Beispiel Gewinnmaximierung[Bearbeiten]
Nun wird der Simplex Algorithmus anhand des Beispiels der Gewinnmaximierung Schritt für Schritt durchgegangen.
Zielfunktion:
.
Nebenbedingungen:
Das System lässt sich umschreiben zu:
Gestartet wird mit der Basislösung, die durch die Schlupfvariable gegeben ist.
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b
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z
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1
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6
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13 |
0
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1
|
0
|
0
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200
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0
|
1
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0
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300
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|
1
|
1
|
1
|
400
|
|
0
|
1
|
3
|
600
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sind Nichtbasiselemente, Z ist die Zielfunktion und
sind Basiselemente. Dabei sind die blau hinterlegten Felder das
, die gelb hinterlegten Felder stellen den Teil von
dar und die grünen Felder sind
. Das nicht markierte Feld ist dabei der negative Zielfunktionswert
.
Update eines Tableau[Bearbeiten]
Für das Update eines Tableau wird eine neue zulässige Basis bestimmt, indem ein Basisvektor durch einen Nichtbasisvektor ausgetauscht wird.
Die Menge der Nichtbasisvektoren, die getauscht werden können, ist über die positiven Koeffizienten c der Zielfunktion definiert als:
. Wenn
dann breche ab und gebe x zurück. Die Menge der Basisvektoren, die getauscht werden können, ist über ihre j-te Komponente bestimmt:
. Wenn
für alle
dann ist das LP unbeschränkt, da die Zielfunktion
durch
unbeschränkt wächst.
Berechne für eine zulässige Basis, das zugehörige Tableau. Nun wird E bestimmt. Wenn
dann wird abgebrochen und x zurückgegeben. Ansonsten wird
durch eine geeignete Pivotregel gewählt. Als nächstes wird
bestimmt. Wenn
dann wird zurückgegeben, dass LP unbeschränkt ist. Ansonsten wird
durch eine geeignete Pivotregel gewählt. Führe nun einen Basiswechsel durch und starte wieder oben.
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b
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z |
1 |
6 |
13 |
0
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 |
1 |
0 |
0 |
200
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 |
0 |
1 |
0 |
300
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1 |
1 |
1 |
400
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 |
0 |
1 |
3 |
600
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Heuristik für die Auswahl der Tauschvektoren[Bearbeiten]
Als erstes werden die größten Koeffizienten in der Zielfunktion gewählt (Dantzig). Eine andere Möglichkeit ist das steepest-edge pricing, welches die Kombination aus Spalten- und Zeilenvektor wählt, die den größten Zuwachs für die Zielfunktion bringt. Oder der kleinste Index wird gewählt. Die letzte Möglichkeit ist eine zufällige Auswahl.
Heuristik: Ersetze einen Basisvektor durch den Nichtbasisvektor, der den größten Zugewinn für die Zielfunktion bringt.
Hier wird die Zeile von
betrachtet und die Spalte von
. Der alte Wert ist 0. Der Koeffizient von
in der Zielfunktion ist 1 und der Zugewinn durch
ist 200.
Hier wird die Zeile von
betrachtet und die Spalte von
. Der alte Wert ist 0. Der Koeffizient von
in der Zielfunktion ist 6 und der Zugewinn durch
ist 1800.
Hier wird die Zeile von
betrachtet und die Spalte von
. Der alte Wert ist 0. Der Koeffizient von
in der Zielfunktion ist 13 und der Zugewinn durch
ist 2600. Nun wird
durch
ersetzt.
Update des Tableaus[Bearbeiten]
Der neue Wert von
wird nun berechnet.
.
Dieser Wert wird nun eingesetzt.
Das neue Tableau sieht nun so aus:
|
 |
 |
 |
b
|
z |
1 |
 |
 |
-2600
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 |
1 |
0 |
0 |
200
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0 |
1 |
0 |
300
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 |
1 |
 |
 |
200
|
 |
0 |
 |
 |
200
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Was haben wir nun gemacht?
Von der Basis
haben wir zu der Basis
gewechselt und zu der neuen Basis haben wir das entsprechende Tableau bestimmt.
Heuristik: Ersetze einen Basisvektor durch den Nichtbasisvektor, der den größten Zugewinn für die Zielfunktion bringt.
Hier wird die Zeile von
betrachtet und die Spalte von
. Der alte Wert ist 2600. Der Koeffizient von
in der Zielfunktion ist 1 und der Zugewinn durch
ist 200.
Hier wird die Zeile von
betrachtet und die Spalte von
. Der alte Wert ist 2600. Der Koeffizient von
in der Zielfunktion ist 6 und der Zugewinn durch
ist 1800. Nun wird
durch
ersetzt.
Update des Tableaus[Bearbeiten]
Der neue Wert von
wird nun berechnet.
. Dieser Wert wird nun eingesetzt.
Das neue Tableau sieht nun so aus:
|
 |
 |
 |
b
|
z |
1 |
 |
 |
-3100
|
 |
1 |
0 |
0 |
200
|
 |
0 |
1 |
0 |
300
|
 |
1 |
 |
 |
0
|
 |
0 |
 |
 |
100
|
Ersetze einen Basisvektor durch den Nichtbasisvektor, der den größten Zugewinn für die Zielfunktion bringt. Es müssen nur Terme aus z mit positivem Vorzeichen betrachtet werden, d.h. es bleibt nur noch
übrig.
Update des Tableaus[Bearbeiten]
Nun wird
durch
ersetzt.
. Dieser Wert wird nun eingesetzt.
Das neue Tableau sieht nun so aus:
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 |
 |
b
|
z |
-1 |
-1 |
-4 |
-3100
|
 |
-1 |
 |
 |
200
|
 |
0 |
1 |
0 |
300
|
 |
1 |
 |
 |
0
|
 |
0 |
 |
 |
100
|
Die Zielfunktion kann nun nicht weiter verbessert werden. Unser x ist nun (0,300,100) und unser z ist 3100.
Das Simplex-Verfahren löst ein lineares Programm in endlich vielen Schritten oder stellt seine Unlösbarkeit oder Unbeschränktheit fest. Im Worstcare hat es eine exponentielle Laufzeit, unabhängig von den gewählten Pivotregeln. In der Praxis ist es sehr effizient.