Kurs:Analysis/Teil I/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	7	4	4	4	3	5	7	4	3	10	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Das Maximum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

4. Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
2. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
3. Der Satz über partielle Integration.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis ${}3:10^{7}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums ${}21$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm ${}2$ Quadratzentimeter einnimmt.

1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

$P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7$

gegeben.

a) Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${}P(Q)$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit

${}f(a)>g(a)\,.$

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

${}f(x)>g(x)\,$

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Aufgabe * (7 (3+3+1) Punkte)

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

${}\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.$

b)

${}\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}\,.$

c)

${}\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

$f(x)=2^{x}+{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{x}$

die Extrema.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.$

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise, dass eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass

${}y(t):={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\,$

die logistische Differentialgleichung

${}y'=y(5-3y)\,$

und die Anfangsbedingung ${}y(0)=1$ erfüllt.