Kurs:Analysis/Teil I/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen den Mengen $X$ und $Y$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Ein \stichwort {lokales Maximum} {} einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{D \subseteq \R}{} eine Teilmenge} {} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Summierbarkeit} {}
einer Familie
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
komplexer Zahlen.
}{Die
\stichwort {Taylor-Reihe} {}
zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}
}{Die
\stichwort {Zeitunabhängigkeit} {}
einer
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'= f(t,y)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {Mittelwertsatz der Integralrechnung} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise durch Induktion für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} k^2
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ z^n }{ n^n } }} { }
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
\mathl{T\longrightarrow {\mathbb K}}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $T$ eine Menge und seien \maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabbdisp {g_n} {T} { {\mathbb K} } {} zwei \definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Funktionenfolgen}{}{.} Zeige, dass auch die Summenfolge \maabbeledisp {f_n+g_n} {T } { {\mathbb K} } {t} { f_n(t) +g_n(t) } {,} gleichmäßig konvergent ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+2)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = 1 + \ln x - \frac{1}{x} } {.}
a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen \mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} definiert.
b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f'(u)$ und $(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
ein Polynom vom Grad $d \geq 2$,
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z)
}
{ =} { (z-w)^2 g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x \cdot \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x}
} {,}
über
\mathl{[1,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh t } }} { }
für
\mathl{t>0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y+t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}