Kurs:Analysis/Teil I/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	4	4	7	3	4	6	6	4	5	3	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Relation zwischen den Mengen ${}X$ und ${}Y$ .
Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$ , ${}P\neq 0$ , über einem Körper ${}K$ .
Ein lokales Maximum einer Funktion
$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

( $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge) in einem Punkt ${}x\in D$ .
Die Summierbarkeit einer Familie ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , komplexer Zahlen.
Die Taylor-Reihe zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ in einem Punkt ${}a\in U$ .
Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung
$y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ .
Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),

G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),

und

H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),

Abbildungen. Zeige, dass dann

{}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,

gilt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

{}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{n}}}

für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ absolut konvergiert.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion ${}T\longrightarrow {\mathbb {K} }$ , wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und seien

f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

und

g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ . Es gelte

f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.

Zeige, dass

f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$ . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.