Kurs:Analysis/Teil I/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 63 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Körper der komplexen Zahlen} {} \zusatzklammer {mit den Verknüpfungen} {} {.}
}{Der \stichwort {Differenzenquotient} {} zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {D} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in D}{} einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Das \stichwort {Unterintegral} {} einer nach unten beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Ein \stichwort {Anfangswertproblem} {} auf einer offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über beschränkte Teilmengen} {} von $\R$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {zweite Mittelwertsatz} {} der Differentialrechnung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
Es seien
\mathl{M_1 , \ldots , M_k}{} und
\mathl{N_1 , \ldots , N_k}{} nichtleere Mengen und
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {N_i
} {}
Abbildungen für
\mathl{i= 1 , \ldots , k}{.} Es sei
\mathl{M=M_1 \times \cdots \times M_k}{,}
\mathl{N=N_1 \times \cdots \times N_k}{,} und $\varphi$ die Produktabbildung, also
\maabbeledisp {\varphi} {M} {N
} {(x_1 , \ldots , x_k)} { ( \varphi_1(x_1) , \ldots , \varphi_k(x_k) )
} {.}
a) Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle $\varphi_i$ surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ein Apfelverkäufer verkauft
\mathl{2893}{} Äpfel für $3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft $3417$ Äpfel für
\mathl{3693}{} Euro. Welches Angebot ist günstiger?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erstelle das Pascalsche Dreieck bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme, für welche komplexe Zahlen $z$ die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty n^nz^n} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung
\mathl{g \circ f}{} von zwei differenzierbaren Funktionen
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
und
\maabb {g} {\R} {\R
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihe \zusatzklammer {Satz 20.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Besitzt die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige
\zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx
}
{ =} { e-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2(t-1) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}